Hannay burchagi

Klassik mexanikada Hannay burchagi aylanma geometrik fazaning (yoki Berry fazasining) mexanik analogidir. U Buyuk Britaniyaning Bristol universitetidan Jon Hannay sharafiga nomlangan. Xannay birinchi marta 1985 yilda burchakni tasvirlab, yaqinda rasmiylashtirilgan Berry bosqichi gʻoyalarini klassik mexanikaga kengaytirdi.

Klassik mexanikada Hannay burchagi

Hannay burchagi harakat-burchak koordinatalari kontekstida aniqlanadi. Dastlab vaqt oʻzgarmaydigan tizimda harakat oʻzgaruvchisi $I_\alpha$ doimiy hisoblanadi. Vaqti-vaqti bilan bezovtalanishni kiritgandan soʻng $\lambda(t)$, harakat oʻzgaruvchisi $I_\alpha$ adiabatik invariantga aylanadi va Hannay burchagi $\theta^H_\alpha$ uning mos burchak oʻzgaruvchisi uchun buzilish sodir boʻlgan evolyutsiyani ifodalovchi yoʻl integraliga koʻra hisoblanishi mumkin. $\lambda(t)$ asl qiymatiga qaytadi:

$$\theta^H_\alpha = -\frac{\partial}{\partial I_\alpha}\oint\!\boldsymbol{p} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{q}}{\partial \lambda}\mathrm{d}\lambda$$bu yerda $\boldsymbol{p}$ va $\boldsymbol{q}$ Gamiltonianning kanonik oʻzgaruvchilari .

Misol

Fuko mayatnik klassik mexanikaning namunasidir, u baʼzan Berri fazasini tasvirlash uchun ham ishlatiladi. Quyida biz harakat burchagi oʻzgaruvchilari yordamida Fuko mayatnikini oʻrganamiz. Oddiylik uchun biz umumiy protokolda qoʻllaniladigan Gamilton-Jakobi tenglamasidan foydalanmaymiz.

Biz chastotali tekislik mayatnikini koʻrib chiqamiz $\omega$ burchak tezligi boʻlgan Yerning aylanishi taʼsirida $\vec{\Omega}=(\Omega_x,\Omega_y,\Omega_z)$ sifatida belgilangan amplituda bilan $\Omega=|\vec{\Omega}|$ . Mana, $z$ yoʻnalishi Yerning markazidan mayatnikgacha. Mayatnik uchun Lagrangian:

$$L=\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2)-\frac{1}{2}m\omega^2(x^2+y^2)+m\Omega_z(x\dot{y}-y\dot{x})$$Tegishli harakat tenglamasi$$\ddot{x}+\omega^2x=2\Omega_z\dot{y}$$$$\ddot{y}+\omega^2y=-2\Omega_z\dot{x}$$Keyin yordamchi oʻzgaruvchini kiritamiz $\varpi=x+iy$ bu aslida burchak oʻzgaruvchisi. Endi biz uchun tenglama mavjud $\varpi$ : $$\ddot{\varpi}+\omega^2\varpi=-2i\Omega_z\dot{\varpi}$$Uning xarakteristik tenglamasidan$$\lambda^2+\omega^2=-2i\Omega_z\lambda$$biz uning xarakterli ildizini olamiz (biz shuni taʼkidlaymiz $\Omega \ll \omega$)$$\lambda=-i\Omega_z\pm i\sqrt{\Omega_z^2+\omega^2}\approx-i\Omega_z\pm i\omega$$Yechim shundan keyin$$\varpi=e^{-i\Omega_zt}(Ae^{i\omega t}+Be^{-i\omega t})$$Yer bir toʻliq aylanishdan keyin, yaʼni $T=2\pi/\Omega\approx 24h$, biz uchun faza oʻzgarishi bor $\varpi$$$\Delta \varphi=2\pi\frac{\omega}{\Omega}+2\pi\frac{\Omega_z}{\Omega}$$Birinchi atama mayatnikning dinamik taʼsiriga bogʻliq boʻlib, dinamik faza deb ataladi, ikkinchisi esa Hannay burchagi boʻlgan geometrik fazani ifodalaydi. $$\theta^H=2\pi\frac{\Omega_z}{\Omega}$$

Manbalar

• Hannay John H. 1985 Angle variable holonomy in adiabatic excursion of an integrable Hamiltonian J. Phys. A: Math. Gen. 18 221-30.
• Marsden, Jerrold E.; Montgomery, Richard; Ratiu, Tudor S.. Reduction, Symmetry, and Phases in Mechanics. AMS Bookstore, 1990 — 69-bet. ISBN 0-8218-2498-8. 
• C. Pisani. Quantum-mechanical Ab-initio Calculation of the Properties of Crystalline Materials, Proceedings of the IV School of Computational Chemistry of the Italian Chemical Society, Springer, 1994 — 282-bet. ISBN 3-540-61645-4. 
• ; Jean-Marc Triscone; Charles H AhnPhysics of Ferroelectrics: a Modern Perspective. Springer, 2007 — 2-bet. ISBN 978-3-540-34590-9. 

Havolalar

• Professor John H. Hannay: Research Highlights. Department of Physics, University of Bristol.