Maydon (algebra)

A birli kommutativ halqada har bir noldan farqli elementi teska-rilanuvchi bŏlsa, u holda A kommutativ halqa maydon deyiladi.

• Maydon tushunchasining juda muhim ekanligini nazarda tutib uning halqa tushunchasiga asoslanmaydigan taʼrifini keltiramiz.$(K,+)$ — abel halqa; b) $(K,\cdot)$- gruppoid, (K\{0}_,*)abel gruppa; s) (K\{0}) qoʻshish bilan koʻpaytirish amallari distributivlik qonuni bilan bogʻlangan (uni ikki formasining ixtiyoriy bittasi bilan ifodalash mumkin), boʻlsa$(K,+,\cdot)$ algebraik sistema maydon deyiladi.

Misol. x, y, z, t — lar$(P,+,\cdot)$ maydonning ixtiyoriy elementlari va y$\neq$0, t$\neq$0 boʻlsin.

${x \over y}$$\pm$${z \over t}$ = ${xt\pm yz\over yt}$ ni isbot qiling.

Yechish. Maydonda koʻpaytirish kommutativ boʻlgani uchun ixtiyoriy y$\neq$0 uchun $xy^{-1}$= $y^{-1}x$ va bu ifodalarning har birini $\frac{x}{y}$ kasr shaklida ifodalash hech qanday aniqsizlikka olib kelmaydi. Shuning uchun isbotlanayotgan tenglikning chap tomoni $xy^{-1}\pm zt^{-1} = xy^{-1}tt^{-1}\pm zt^{-1} yy^{-1}= xt(yt)^{-1}\pm yz(yt)^{-1}= (xt\pm yz)(yt)^{-1},$ yaʼni oʻng tomoniga teng.shu bilan birga nolning boʻluvchilari mavjud emasligi sababidan $y\neq 0, t\neq0$ dan $yt\neq0$ kelib chiqadi.

Agar $(P,+,\cdot)$ maydon biri (birlik elementi) ning hamma butun karralilari P ning elementlaridan iborat boʻlsa, yaʼni $k=\ell$ uchun $k\cdot1\neq l\cdot1$ boʻlsa R maydon nol xarakteristikaga ega deyiladi va $charP=0$ shaklda yoziladi. Aks holda $1<m<p$ uchun $p\cdot1=0,$ ammo $m\cdot1\neq0$ boʻlsa, r natural son R maydonning xarakteristikasi deyiladi va $charP=p$ qilib yoziladi. Boshqacha qilib aytganda, maydonning biri uning additiv gruppasida cheksiz tartibli element boʻlsa, maydonning xarakteristikasi nolga teng deyiladi, aks holda maydonning xarakteristikasi deb maydon birining uning additiv gruppasidagi tartibiga aytiladi.